目次
はじめに
「順列と組み合わせって、結局どう違うの？」
「公式は覚えたのに、問題になると迷ってしまう…」
そんなふうに、SPIの「場合の数」で悩んでいませんか。
実は、順列と組み合わせで迷う原因の多くは、計算ではなく「並べるのか、選ぶだけなのか」の判断です。ここが分かるだけで、問題はかなり解きやすくなります。
この記事では、順列と組み合わせの違いをやさしく整理しながら、問題で迷わない見分け方と解き方を順を追って説明していきます。
読み終わるころには、「これは順列」「これは組み合わせ」と落ち着いて判断できるようになります。
SPIの「場合の数」とは？
SPIの「場合の数」は、出題パターンがある程度決まっており、基本の考え方を押さえるだけで得点につながりやすい分野です。
ただし、やみくもに公式を覚えるだけでは対応できず、「どの場面でどの考え方を使うのか」を整理して理解しておく必要があります。
ここでは、まず場合の数の基本となる考え方を押さえたうえで、SPIで実際に問われる範囲を具体的に整理していきます。
場合の数の基本
場合の数とは、ある条件のもとで起こり得る結果を、重複や漏れなくすべて数えた総数を指します。
具体的には、並べ方を数える順列では順番を区別して数え、選び方を数える組み合わせでは順番を区別せずに数えます。
問題では、与えられた条件に従い「順番を区別するかどうか」を判断し、該当する数え方で全パターンを計算することで、最終的な通り数を求めます。
SPIで問われる範囲
SPIで問われる場合の数は、順列と組み合わせの2種類に限定されます。
順列では「異なるn個からr個を取り出して並べる」形で順番を区別して計算し、組み合わせでは「異なるn個からr個を選ぶ」形で順番を区別せずに計算します。
問題文では「並べる」「席に座る」など順番が結果に影響するか、「選ぶ」「取り出す」など順番が結果に影響しないかを判断し、それぞれの計算方法を使い分けて通り数を求めます。
SPIの順列と組み合わせの違いと見分け方
場合の数でつまずく原因の多くは、「順列と組み合わせのどちらを使うべきか」を判断できないことにあります。
同じ数字や条件でも、「並べるのか」「選ぶだけなのか」で考え方と計算式がまったく変わるため、この見極めができるかどうかが得点を大きく左右します。
ここでは、順列と組み合わせそれぞれの基本を押さえたうえで、問題文からどちらを使うべきかを判断する基準まで具体的に整理していきます。
順列
順列は、異なるn個の中からr個を取り出し、並べる順番まで区別して数える方法です。
同じr個を選んでも並び順が1つでも違えば別の通りとして数えるため、並べ方の数は「nPr＝n×(n−1)×…×(n−r＋1)」で計算します。
問題文に「並べる」「順番に配置する」「席に座る」など、位置ごとに誰が入るかで結果が変わる条件がある場合は、順列として扱います。
組み合わせ
組み合わせは、異なるn個の中からr個を選び、並べる順番を区別せずに数える方法です。
同じr個を選んでいれば並び順が異なっても同一の通りとして扱うため、通り数は「nCr＝nPr÷r!」で計算します。問題文に「選ぶ」「取り出す」「チームを作る」など、順番が結果に影響しない条件がある場合は、組み合わせとして扱います。
使い分けの判断基準
使い分けは、「同じ人や物の並び順が1通りとして扱われるか」を基準に判断します。
取り出したr個について、並び順が1つでも違えば別の結果になる場合は順列、並び順が違っても同一の結果として扱う場合は組み合わせを選びます。
問題文を読んだ時点で、最初にr個を決めた後に並べ替える必要があるかどうかを確認し、並べ替えが必要なら順列、不要なら組み合わせとして計算方法を決めます。
SPIの場合の数の解き方
場合の数は「考え方が分かっていても解けない」と感じやすい分野ですが、実際は出題パターンごとに処理手順がほぼ決まっています。
順列・組み合わせ・条件付きといった代表的な型ごとに解き方を整理しておけば、問題文を見た瞬間にどの手順で進めるか判断できるようになります。
ここでは、頻出の基本パターンごとに解き方を具体的に整理していきます。
順列の基本パターン
順列の基本パターンは、異なるn個の中からr個を取り出して並べる場合に、1番目の位置に入る候補がn通り、2番目がn−1通りと1つずつ減っていくため、掛け算で「n×(n−1)×…×(n−r＋1)」と計算します。
位置ごとに入る対象が決まり、前に選んだものは次に使えないため、各段階の選択肢の数を順に掛け合わせることで、全体の並べ方の数が求まります。
組み合わせの基本パターン
組み合わせの基本パターンは、異なるn個の中からr個を選ぶ際に、並べる順番を区別しないため、まず順列で「n×(n−1)×…×(n−r＋1)」と並べ方を求め、その中に同じr個を異なる順番で数えた重複がr!通り含まれている分を割り戻して「nCr＝nPr÷r!」で計算します。
選んだ後に並び替えを行わないため、順列で数えた重複分を除くことで、実際の通り数が求まります。
条件付き問題の考え方
条件付き問題では、まず条件を満たす配置や選び方だけに範囲を限定し、その中で順列または組み合わせの計算を行います。
特定の位置が固定される場合は、その位置を先に確定させて残りの個数で計算し、特定の対象が含まれる・含まれない場合は、条件を満たす場合だけを個別に数えます。
全体から条件に合わない場合を引くか、最初から条件に合う場合だけを数えるかを判断し、重複や漏れが出ないように通り数を求めます。
SPIの例題で解き方を確認する
ここまでで基本の考え方と解き方を整理してきましたが、実際に得点できるかどうかは「問題でどう使うか」にかかっています。
公式や手順を理解していても、問題文の読み取りや使い方を誤るとミスにつながりやすい分野です。ここでは、順列と組み合わせそれぞれの例題を通して解き方の流れを具体的に確認しつつ、つまずきやすいポイントもあわせて整理していきます。
順列の例題
異なる5人を横一列に並べる場合、1番目の位置には5通り、2番目は残り4通り、3番目は3通り、4番目は2通り、5番目は1通りと、前に選んだ人を除いて順に候補が減るため、「5×4×3×2×1＝120通り」となります。
各位置に入る人が確定するごとに次の選択肢が1つずつ減るため、全体の並べ方は掛け算で求めます。
組み合わせの例題
異なる5人の中から3人を選ぶ場合、順番を区別しないため、まず順列で「5×4×3＝60通り」と並べ方を求め、その中には同じ3人を並べ替えた重複が「3×2×1＝6通り」含まれているため、「60÷6＝10通り」となります。
選ぶだけで並び替えを行わないため、順列で数えた重複分を割ることで正しい通り数が求まります。
よくあるミス
よくあるミスは、順番を区別するかどうかの判断を誤り、順列で数えるべき場面で組み合わせを使う、またはその逆を行ってしまう点です。
順列で計算すべき場面でnCrを使うと、本来別の並びとして数えるべき通りをまとめてしまい通り数が小さくなり、組み合わせで計算すべき場面でnPrを使うと、同じ選び方を並び替えた分まで重複して数えてしまい通り数が大きくなります。
問題文で順番が結果に影響するかを確認せずに式を当てはめると、計算過程が正しくても最終結果がずれます。
SPIの場合の数を解くコツ
場合の数は公式やパターンを理解していても、問題ごとに判断を誤ると簡単にミスにつながる分野です。
特に「順列か組み合わせか」「条件をどう扱うか」で迷って手が止まるケースは少なくありません。安定して正解するためには、迷わない判断基準と一定の解き方の流れを持っておくことが重要です。
ここでは、判断ミスを防ぐポイントと、問題を見たときに迷わず進めるための手順を具体的に整理していきます。
判断ミスを防ぐポイント
判断ミスを防ぐには、問題文を読んだ直後に「同じ人や物を並べ替えたときに別の結果として数えるか」を1回だけ確認します。
並び替えで結果が変わるなら順列、変わらないなら組み合わせとその場で決め、式に入る前に判断を固定します。この確認を省いて計算に入ると、式は正しくても前提がずれるため通り数が必ず誤ります。
解き方を迷わないための手順
解き方を迷わないためには、最初に「取り出したr個を並べ替えるかどうか」を判断し、順列か組み合わせかを確定させます。次に、条件がある場合は先に固定できる対象や位置を確定させ、残りの個数で計算範囲を絞ります。
そのうえで、順列なら「n×(n−1)×…」、組み合わせなら「nPr÷r!」と式を決めて計算に進みます。
この順番で処理しないと、条件の反映漏れや計算式の選択ミスが起き、通り数がずれます。
まとめ
SPIの「場合の数」は、順列と組み合わせの2つだけ整理できれば、考え方はかなりシンプルになります。まずは「順番まで変わるか」を確認してみてください。並び方によって結果が変わるなら順列、選ぶだけで順番が関係ないなら組み合わせです。
順列は、席順や並び順のように「どこに入るか」で結果が変わるときに使います。一方、組み合わせは「誰を選ぶか」だけを考える問題で使います。最初にこの違いを決めておくだけで、途中で迷いにくくなります。
また、条件がある問題では、先に「誰を固定するか」「どこを先に決めるか」を整理してから式を使うと、重複や数え漏れを防ぎやすくなります。
解くときは
順列か組み合わせかを決める
条件を整理して範囲を絞る
式に当てはめる
という流れで進めてみてください。問題を見るたびに「順番は関係あるかな？」と一度だけ確認する習慣をつけると、少しずつ迷わず解けるようになっていきます。